Постановка задачи оптимизации плана поставок

Поскольку то следовательно, с учетом предыдущего равенства имеем

Сумма квадратов всегда неотрицательна. Она достигает минимума, равного 0, когда все переменные равны 0, т.е. при Тогда

При этих значениях выполнены все ограничения оптимизационной задачи.

Для плана с равными интервалами между поставками все партии товара имеют одинаковый объем. Для такого плана издержки по хранению равны

Средние издержки (на единицу времени) таковы:

Итак, минимизация средних издержек - это задача дискретной оптимизации. На третьем этапе построения оптимального плана необходимо найти натуральное число n(T) - самое выгодное число поставок. [1, 3]

Поскольку к моменту Т запас товара должен быть израсходован, то общий объем поставок за время T должен совпадать с общим объемом спроса, следовательно, равняться . Справедливо балансовое соотношение:

Из балансового соотношения следует, что

Средние издержки (на единицу времени) можно выразить как функцию размера партии Q:

Задача состоит в минимизации f1(Q) по Q. При этом возможная величина поставки принимает дискретные значения,

Изучим функцию f1(Q), определенную при Q>0. При приближении к 0 она ведет себя как гипербола, при росте аргумента - как линейная функция. Производная имеет вид

Производная монотонно возрастает, поэтому рассматриваемая функция имеет единственный минимум в точке, в которой производная равна 0, т.е. при

Получена знаменитая «формула квадратного корня». В литературе иногда без всяких комментариев рекомендуют использовать напряженный план, в котором размеры всех поставляемых партий равныQ0. К сожалению, получаемый таким путем план почти всегда не является оптимальным, т.е. популярная рекомендация неверна или не вполне корректна. Дело в том, что почти всегда [5, 6]

Всегда можно указать неотрицательное целое число n такое, что

Решением задачи оптимизации

является либо Q1, либо Q2.

Действительно, из всех часть лежит правее Q0, из них наименьшим является Q2, а часть лежит левее Q0, из них наибольшим является Q1. Для построения оптимального плана обратим внимание на то, что производная (1.2) отрицательна левее Q0 и положительна правее Q0, следовательно, функция средних издержек f1(Q) убывает левее Q0 и возрастает правее Q0.

Значит, минимум по достигается при Q = Q2, а минимум по - при Q = Q1 .