Графическая интерпретация линейной производственной функции комплексного аргумента

В теории производственных функций и экономическом анализе активно используются графические интерпретации производственной функции Кобба-Дугласа, а именно - линии под названием "изокванты" и "изоклинали". Можно ли провести аналогии с ними для предложенной функции?

Изокванты, как известно, показывают, как может меняться структура использования ресурсов - труда и основного капитала, если объём производства сохраняется неизменным Qt=Q=const. По сути, изокванты характеризуют изменение издержек производства при различных сочетаниях труда и основного капитала, если объёмы производства остаются неизменными. Графически изокванта представляет собой прямую на плоскости ресурсов, все точки на которой, характеризуют один и тот же объём производства. Чисто математически изокванты представляют собой зависимость затрат труда от затрат капитала при постоянстве объёмов производства. [12, 14] Найдём эту зависимость для производственной функции комплексного аргумента. Как следует из (2.1.1), уравнение изокванты будет представлено в виде:

(2.15)

Или, после небольших преобразований:

. (2.16)

Поскольку в левой части равенства действительная часть равна нулю, то и в правой части равенства действительная составляющая должна быть равна нулю. С учётом того, что , выразив из него а1 и подставив полученное выражение в вещественную часть равенства (2.16), получим искомое уравнение изокванты:

(2.17)

При Kt=0 и Lt=0. При значение вновь становится равным нулю. Очевидно, что между этими двумя точками есть точка максимума. Определить эту точку достаточно просто - следует взять первую производную функции по капитальным ресурсам (поскольку объёмы производства остаются величиной постоянной) и приравнять её нулю. В результате получим точку, в которой изокванта достигает своего максимума:

(2.18)

С ростом значений Q будет получено семейство изоквант, каждая из которых выходит из нулевой точки, постепенно возрастая до максимальной точки, определяемой условием (2.18), а затем уменьшаясь до нулевых значений трудовых ресурсов в точке

.

Теперь выведем уравнение изоклинали для производственной функции комплексного аргумента. Изоклинали, как известно, строятся для ситуации, когда при выбранной технологии производства неизменной остаётся себестоимость произведённой продукции, а её объём увеличивается с увеличением затрат ресурсов. Графически изоклиналь представляет собой линию на плоскости ресурсов, все точки на которой характеризуют такие объёмы производства (результаты), которые достигаются при одном и том же способе производства, одной и той же пропорции между ресурсами, но при разных величинах капитальных и трудовых ресурсов. Математическим условием для построения изоклинали выступает условие сохранения одной и той же пропорции между трудовыми и капитальными затратами, то есть [13]:

. (2.19)

Подставляя это значение в (2.1.1), получим для изоклиналей:

. (2.20)

Раскрывая скобки и группируя вещественную и мнимую части комплексного числа, получим:

,

откуда со всей очевидностью следует искомое уравнение изоклинали:

.(2.21)

Это уравнение представляет собой прямую линию, выходящую из нулевой точки на плоскости ресурсов, тангенс угла наклона которой равен сомножителю перед ресурсом Lt.

Поскольку графики изоквант и изоклиналей обычно располагается на плоскости ресурсов, то с учётом (2.17), по вертикальной оси откладываются значения трудовых ресурсов, а по горизонтальной - значения капитальных ресурсов. Поэтому уравнение изоклинали следует представить как зависимость величины трудовых ресурсов от капитальных ресурсов при росте объёма производства, но сохранении пропорции (2.19). В этом случае оно принимает элементарный вид:

На рисунке 2.3 показаны изокванты и изоклинали для линейной производственной функции комплексного аргумента.

Рисунок 2.3. Изокванты и изоклинали

Подобный вид изоквант характерен для производства с полной взаимозаменяемостью ресурсов. Можно сделать вывод о том, что взаимозаменяемость ресурсов абсолютно эластична (то есть эластичность бесконечна). Предельная норма замены ресурсов в нашем случае, в соответствии с (2.7) будет равна: