Введение в теорию конечных полей
кодирование программный алгоритм преобразование
Математическое понятие конечного поля является ключевой категорией теории кодирования, и знакомство с ним начнем с определения поля.
Полем называется множество элементов, замкнутое относительно двух операций, называемых сложением и умножением (обозначаемых привычными знаками «+» и «
» (или точкой)). Замкнутость операций означает, что результаты сложения или умножения также являются элементами поля
: если
, то
.
Операции сложения и умножения удовлетворяют следующим аксиомам:
. Сложение и умножение коммутативно:
;
. Сложение и умножение ассоциативно:
;
. Существует нейтральный элемент по сложению и умножению, не изменяющий значения любого элемента поля в этих операциях. Нейтральный элемент по сложению называется нулем и обозначается символом «0», а нейтральный элемент по умножению - единицей и обозначается как «1»:
;
4. Для любого элемента существует единственный обратный или противоположный по сложению (обозначаемый, как «
») элемент такой, что
;
. Для любого элемента (за исключением 0) существует единственный обратный элемент (обозначаемый, как
) по умножению такой, что
;
. Сложение и умножение подчиняется дистрибутивному закону:
.
Непосредственно из вышеприведенных аксиом следует, что в любом поле наряду со сложением определена операция вычитания, а с умножением - деление:
, а для
-
.
Простейшими примерами полей являются числовые поля (поле рациональных и вещественных чисел), имеющих бесконечной число элементов.
Теория кодирования в основном оперирует с конечными полями, состоящими из конечного числа элементов. Общепринятым обозначением конечного поля является (Galois field - в честь французского математика Эвариста Галуа), где
- порядок конечного поля, т.е. число элементов поля. Нетрудно доказать, что существуют конечные поля только порядка, равного целой степени простого числа:
, где
- простое, а
- натуральное числа. Конечное поле простого порядка
называется простым полем и обозначается
. Любое подобное поле может трактоваться как множество остатков от деления натуральных чисел на
с операциями сложения и умножения по модулю
.
Расширенные конечные поля (порядка , где
) не могут быть построены на основании арифметики по
, и их более сложная структура будет рассмотрена несколько позже.