Расширенные конечные поля

Теперь у нас есть все необходимые сведения, чтобы расширить поле до поля ( - простое число). Как уже известно, существуют конечные поля только порядка ( - простое, - натуральное числа). Простое поле порядка может трактоваться как множество остатков от деления целых чисел на : с операциями сложения и умножения по модулю . Аналогичным образом расширенное поле порядка , может трактоваться как множество остатков от деления полиномов над на некоторый неприводимый полином степени с операциями сложения и умножения по модулю . Другими словами, поле содержит все полиномы над полем степени не выше с общепринятыми операциями сложения и умножением, осуществляемым в два этапа - вначале производится обычное умножение полиномов, а затем удерживается только остаток от деления полученного произведения на полином .

Отметим, что среди полиномов степени не выше присутствуют и полиномы нулевой степени, т.е. элементы простого поля , сложение и умножение которых, осуществляются по правилам . Это означает, что простое поле полностью содержится в расширенном , или, другими словами, является подполем. Для поля порядок его простого подполя называется характеристикой поля . Например, любое расширенное поле является полем характеристики 2, вследствие чего вычисление коэффициентов полиномов, рассматриваемых как элементы поля , осуществляется по модулю два. В частности, для любого ,, поскольку .