Некоторые свойства расширенных конечных полей

Теорема 2.6.1.

Среди всех элементов расширенного поля только для элементов основного подполя , т.е. для 0 и 1, выполняется соотношение

.

Доказательство:

Справедливость указанного соотношения для нулевого элемента поля очевидна. Среди всех ненулевых элементов поля мультипликативный порядок, равный единице, имеет лишь 1, что и завершает доказательство теоремы.

Теорема 2.6.2.

Пусть - конечной поле характеристики . Тогда для любых элементов , , выполняется соотношение

.

Доказательство:

Поскольку поле имеет характеристику, равную 2, то сомножитель в разложении бинома обращается в нуль. Следовательно

.

Данная теорема может быть обобщена на случай любого натурального и произвольного числа элементов :

.

Познакомимся теперь с еще одним важным определением.

Пусть . Тогда элементы поля вида

называются 2 - сопряженными с элементом .

Вследствие конечности поля последовательность, составленная из и 2 - сопряженных с ним элементов, имеет ограниченный набор отличающихся друг от друга элементов. Так, если все элементы вида

различны, а продолжение последовательности приводит к повторению какого-либо уже содержащегося в ней элемента, то

.

Можно доказать, что длина любой последовательности (цикла) 2-сопряженных элементов поля всегда делит степень расширения .