Определение циклического кода. Порождающий полином

Следовательно, если , то

.

Теорема 3.2.1.

Любой кодовый полином циклического кода делится без остатка на порождающий многочлен этого кода, т.е.

Доказательство:

Предположим противное, т.е. что существует некоторый кодовый многочлен, который представим в виде

,

где остаток от деления на.

Так как , то, согласно следствию из леммы 3.2.2, многочлен является кодовым. Тогда, с учетом линейности кода, также является кодовым многочленом. Но поскольку , то в циклическом коде содержится кодовый полином, имеющий меньшую степень, чем порождающий, что противоречит определению порождающего полинома, а значит, наше предположение неверно, и порождающий многочлен делит без остатка любой кодовый полином, т.е. .

Таким образом, любой кодовый полином циклического кода может быть представлен в виде произведения

,

в котором - порождающий многочлен, а - некоторый информационный полином. Иными словами, отличие всех кодовых полиномов друг от друга определяется только информационными полиномами. Поскольку

,

то для двоичных кодов может существовать различных информационных полиномов , т.е. различных кодовых слов. Отсюда число информационных символов в каждом кодовом слове , и, значит, , тогда как степень порождающего многочлена

соответствует числу проверочных символов.

Порождающий многочлен циклического кода обладает характерными чертами, которые устанавливается следующей теоремой.

Теорема 3.2.2.

Порождающий многочлен циклического кода длины обязательно делит бином .

Доказательство:

Из леммы 3.2.1 следует, что вычет из произведения по модулю является кодовым полиномом. Учитывая, что , то

,

и значит, как кодовый полином, делится без остатка на. Следовательно, и делится на .