Векторное пространство над конечными полями. Линейная зависимость и независимость

Пусть - конечное поле, элементы которого будем называть скалярами.

Векторным пространством над полем называется множество элементов (векторов), замкнутое относительно двух операций: сложения векторов и умножения вектора на скаляр, обозначаемых привычными символами «+» и «•», т.е. если , то .

Операции сложения и умножения удовлетворяют следующим аксиомам:

. Сложение коммутативно и ассоциативно:

;

. Существует нулевой (нейтральный) вектор по сложению, не изменяющий любой вектор, сложенный с ним:

;

3. Для любого вектора существует единственный противоположный (обратный) вектор такой, что:

;

. Умножение на скаляр ассоциативно:

;

. Умножение любого вектора на единичный скаляр (всегда существующий в ) не меняет его значения:

;

. Выполняется дистрибутивный закон

.

Модель векторного пространства, используемая в теории кодирования, есть ничто иное, как пространство -мерных векторов (кодовых слов) с компонентами, принадлежащими заданному конечному полю: . Операции с векторами в этом пространстве выполняются по следующим простым правилам:

и ,

где сложение и умножение скаляров осуществляется в соответствии с правилами поля . Пространство такого типа может содержать до векторов. В двоичном пространстве максимальное число векторов не превосходит величины и согласно правилам поля

Пусть в пространстве имеется набор из векторов . Эти вектора называются линейно зависимыми, если хотя один представим в виде линейной комбинацией других

,

где все - скалярные коэффициенты. Напротив, если ни один из векторов не является линейной комбинацией других, то вектора называются линейно независимыми.

Максимальное число линейно независимых векторов в данном пространстве называется размерностью пространства (пространство размерности также называют -мерным). Любое множество линейно независимых векторов в -мерном пространстве образует его базис. Если - базис пространства , то любой вектор может быть получен в виде линейной комбинации :