Арифметика полиномов, заданных над конечным полем

Рассмотрим полином

,

в котором коэффициенты являются элементами поля .

Введем основные правила арифметических действий с формальными полиномами, коэффициенты которого принадлежат полю (подобные полиномы обычно называют полиномами над).

1. Суммой двух полиномов и называется полином, определяемый соотношением:

.

2. Умножение полинома на скаляр (где ) осуществляется как

.

Установив операции сложения полиномов и умножения полинома на скаляр, можно сказать, что множество полиномов кодовых слов обладает структурой векторного пространства и для него справедливы утверждения:

если , то ;

если , то .

Рассмотрим некоторые определения, связанные с полиномами, заданными над конечным полем.

Пусть имеется многочлен .

Приведенным (или нормированным) полиномом называется полином, старший коэффициент которого .

Нулевым полиномом называется полином.

Степенью ненулевого полинома называется наибольшая степень формальной переменной при ненулевом коэффициенте и обозначается как .

Важную роль играет операция умножения полиномов, которая не определена для векторного пространства. Считая, что для формальных полиномов выполняется обычный дистрибутивный закон и что , произведение полиномов задается соотношением, ничем не отличающимся от обычного произведения полиномов, изучаемого в школьной алгебре.

Если и , то

,

где .

В современной алгебре структура, отличающаяся от поля только отсутствием обратимости ненулевых элементов, т.е. отсутствием операции деления, называется кольцом. Очевидно, что множество полиномов над полем образуют кольцо.