Мультипликативный порядок элементов поля. Примитивные элементы. Другой подход к построению расширения поля Галуа

В любом поле , является ли оно простым или расширенным, определена операция -кратного умножения элемента . Естественно назвать такое произведение -ой степенью элемента , обозначив его как

.

Тогда

,

и для любого ненулевого

.

Следовательно, в конечных полях действуют те же самые правила обращения с целочисленными степенями элементов, что и в обычной арифметике.

Возьмем некоторый ненулевой элемент и рассмотрим его степени вида . Поскольку все они являются элементами поля , то вследствие его конечности лишь ограниченное число подобных степеней будет различными, т.е. для некоторых и будет справедливо , а значит, . Назовем минимальное натуральное число , для которого

,

мультипликативным порядком элемента . Очевидно, что только единичный элемент любого конечного поля обладает мультипликативным порядком, равным единице, т.е. .

Следующая теорема, приводимая без доказательства, утверждает, что значения мультипликативных порядков элементов поля подчиняются достаточно строгому ограничению.

Теорема 2.5.1.

Мультипликативный порядок любого ненулевого элемента поля делит , т.е. число ненулевых элементов поля .

Элемент поля , имеющий максимальный мультипликативный порядок , называется примитивным элементом поля.

В любом конечном поле всегда существует хотя бы один примитивный элемент . Отличительной особенностью данного элемента является то, что все его последовательных степеней , различны и пробегают все ненулевые элементы поля .

Утверждение 2.5.1.

Если мультипликативный порядок элемента равен , то порядок элемента определяется как

,

где - наибольший общий делитель .