Мультипликативный порядок элементов поля. Примитивные элементы. Другой подход к построению расширения поля Галуа

Утверждение 2.5.2.

В любом поле содержится примитивных элементов, где - функция Эйлера, указывающая число целых чисел из диапазона от 1 до , взаимно простых с.

Расширенное поле, построенное как множество полиномов по модулю некоторого неприводимого полинома, всегда содержит в качестве элемента поля полином . Если окажется, что - примитивный элемент, то соответствующий неприводимый полином называется примитивным полиномом. Примитивные полиномы произвольной степени определены над любым конечным полем. Они являются полезным инструментом для построения расширенных полей, поскольку позволяют реализовать очень простой вариант таблицы умножения элементов поля. Действительно, любые ненулевые элементы и расширенного поля могут быть выражены как некоторые -я и -я степени примитивного элемента : , . Тогда и, значит, таблица умножения двух элементов поля и представляет собой ни что иное, как все не нулевые степени примитивного элемента.

Таким образом, построение расширенного поля в виде степеней примитивного элемента предполагает следующий алгоритм действий. На первом этапе выбирается некоторый примитивный полином степени над основным полем , которые содержатся в специальных таблицах: . Тогда -я степень по модулю определится как . Предположение о примитивности позволяет задать в виде . Отсюда

.

Учитывая, что и подставляя его в последнее соотношение, получаем в явном виде выражение для -й степени . Последовательное возведение в степень позволяет, таким образом, определить все ненулевые элементы расширенного поля в виде линейной комбинации первых степеней : , , …, с коэффициентами из основного поля .