Коды Рида-Соломона

Остановимся здесь на важном частном случае циклического кода - коде Рида-Соломона (РС).

Коды РС являются недвоичными циклическими кодами, символы кодовых слов которых берутся из конечного поля . Здесь степень некоторого простого числа, , -простое.

Кодовые слова РС-кода отображаются в виде многочленов

где - длина кода; - -ичные коэффициенты (символы кодовых слов), которые могут принимать любое значение из Коды РС являются максимальными, т.к. при длине кода и информационной последовательности они обладают наибольшим кодовым расстоянием

Порождающим многочленом РС-кода является делитель двучлена xN+1 степени меньшей с коэффициентами из при условии, что элементы этого поля являются корнями . Здесь - примитивный элемент

На основе этого определения, а также теоремы Безу, выражение для порождающего многочлена РС-кода будет иметь вид

)

В РС-кодах принадлежность кодовых слов данному коду определяется выполнением d-1 уравнений в соответствии с выражением,

где - символы-коэффициенты из 0, z1… zN-1 - ненулевые элементы

Элементы z0, z1… zN-1 называются локаторами, т.е. указывающими на номер позиции символа кодового слова. Например, указателем - позиции является локатор или элемент i. Так как все локаторы должны быть различны и причем ненулевыми, то их число в равно . Следовательно, такое количество символов должно быть в кодовых словах кода. Поэтому обычно длина РС-кода определяется из выражения .